1
תזכורת: ההתפלגות הנורמלית
ההתפלגות הנורמלית נקראת גם פעמון גאוס. היא סימטרית סביב התוחלת, ורוב הערכים נמצאים קרוב למרכז.
סימון קצר
\[X \sim N(\mu,\sigma^2)\]
\(\mu\) היא התוחלת. \(\sigma\) היא סטיית התקן.
נוסחת הצפיפות
\[f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]
2
למה זה חשוב?
ההתפלגות הנורמלית עוזרת לחשב הסתברויות, לבנות רווחי סמך ולבצע בדיקות השערה.
הרעיון המרכזי: גם אם הנתונים המקוריים אינם נורמליים, הסכום או הממוצע המנורמלים יכולים להתקרב בהתפלגות לנורמלית.
📦
נתונים לא נורמליים➕
הרבה תצפיות🔔
קירוב נורמלי3
מה אומר משפט הגבול המרכזי?
נניח שיש לנו הרבה משתנים אקראיים בלתי תלויים:
\[X_1, X_2, \ldots, X_n\]
אותה תוחלת
\[E(X_i)=\mu\]
אותה שונות
\[Var(X_i)=\sigma^2\]
במילים פשוטות: הרבה רעשים קטנים ביחד יוצרים צורה מסודרת — פעמון. אבל חשוב: בלי נרמול מתאים הסכום עצמו לא “מתכנס” ל-\(N(0,1)\).
3א
מה בדיוק מתכנס?
המשפט לא אומר שהסכום עצמו נעשה פתאום \(N(0,1)\). הוא אומר שהמשתנה המנורמל מתכנס בהתפלגות לנורמלית סטנדרטית.
עבור סכום
\[\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)\]
החץ \(\xrightarrow{d}\) אומר: התכנסות בהתפלגות.
עבור ממוצע
\[\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)\]
לא \(\bar X\) לבדו, אלא הממוצע אחרי חיסור התוחלת וחלוקה בסטיית התקן שלו.
למה חייבים לנרמל? כאשר \(n\) גדל, הסכום גדל והפיזור שלו גדל. הנרמול מזיז את המרכז ל-0 ומכווץ את הפיזור ל-1.
4
גרסה 1: עבור סכום
נגדיר את הסכום:
\[S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n\]
תוחלת הסכום:
\[E(S_n)=n\mu\]
שונות הסכום:
\[Var(S_n)=n\sigma^2\]
סטיית התקן של הסכום:
\[\sigma_{S_n}=\sigma\sqrt n\]
נרמול הסכום של \(n\) משתנים להתפלגות Z:
\[Z_n=\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)\]
כאן \(n\) הוא מספר המשתנים או מספר התצפיות. לכן תוחלת הסכום היא \(n\mu\), וסטיית התקן של הסכום היא \(\sigma\sqrt n\). אחרי הנרמול מתקבלת התכנסות בהתפלגות ל-\(N(0,1)\).
5
גרסה 2: עבור ממוצע
נגדיר את הממוצע:
\[\bar X=\frac{S_n}{n}\]
תוחלת הממוצע:
\[E(\bar X)=\mu\]
שונות הממוצע:
\[Var(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}\]
סטיית התקן של הממוצע:
\[\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}\]
נרמול הממוצע של \(n\) תצפיות להתפלגות Z:
\[Z_n=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)\]
כאן \(n\) הוא מספר התצפיות במדגם. מחסרים את התוחלת ומחלקים בסטיית התקן של הממוצע, \(\sigma/\sqrt n\). זה המשתנה שמתכנס בהתפלגות ל-\(N(0,1)\).
חשוב: ככל ש-\(n\) גדול יותר, סטיית התקן של הממוצע קטנה. לכן הממוצע נעשה יציב יותר סביב התוחלת.
6
סכום מול ממוצע
סכום
\[S_n=X_1+\cdots+X_n\]
\[E(S_n)=n\mu\]
\[\sigma_{S_n}=\sigma\sqrt n\]
ממוצע
\[\bar X=\frac{S_n}{n}\]
\[E(\bar X)=\mu\]
\[\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}\]
הסכום גדל עם \(n\). הממוצע נשאר סביב \(\mu\), אבל נעשה פחות מפוזר.
7
מתי אפשר להשתמש?
🔢
יש הרבה תצפיות🔗
התצפיות בלתי תלויות או כמעט בלתי תלויות🎯
יש תוחלת סופית📏
יש שונות סופית30+
בדרך כלל \(n\ge 30\)⚠️
זה כלל אצבע, לא חוק קשיחכלל אצבע: בקורס בסיסי משתמשים לעיתים קרובות ב-\(n\ge 30\) כמינימום. בפועל עדיף יותר תצפיות — למשל 50 או 100 — במיוחד אם ההתפלגות המקורית לא סימטרית.
חריג חשוב: אם המשתנים המקוריים עצמם מתפלגים נורמלית, לא צריך לחכות ל-30 תצפיות. במקרה כזה הסכום והממוצע נורמליים בדיוק לכל \(n\), ולא רק בקירוב.
8
מתי המשפט לא עובד או עובד לאט?
משפט הגבול המרכזי חזק מאוד, אבל הוא לא קסם. לפעמים ההתכנסות בהתפלגות לנורמלי איטית, והקירוב דורש מדגם הרבה יותר גדול.
מדגם קטן מדי
אם \(n\) קטן, הצורה של הסכום או הממוצע עדיין יכולה להיות רחוקה מפעמון.
התפלגות מאוד לא סימטרית
למשל התפלגות מעריכית או נתונים עם זנב ימני ארוך. כאן \(n=30\) לא תמיד מספיק.
ערכים קיצוניים
כמה תצפיות ענקיות יכולות להזיז את הממוצע ולפגוע בקירוב הנורמלי.
תלות בין התצפיות
אם התצפיות משפיעות זו על זו, התנאי של אי-תלות נשבר, והמשפט הבסיסי לא מתאים ישירות.
שונות לא סופית
אם להתפלגות אין שונות סופית, הגרסה הפשוטה של המשפט לא חלה.
אוכלוסיות מעורבבות
אם מערבבים קבוצות שונות מאוד, הממוצע יכול להתנהג בצורה פחות פשוטה.
מסר לשיעור: \(n\ge 30\) הוא רק התחלה. ככל שהנתונים יותר קיצוניים, יותר תלויים או יותר לא סימטריים — נרצה \(n\) גדול יותר ולבדוק בסימולציה.
9
דוגמה 1: שוקולדים — סכום
משקל של שוקולד אחד מתפלג אחיד בין 95 ל-105 גרם. קונים 36 שוקולדים. מה ההסתברות שהמשקל הכולל גדול מ-3630 גרם?
X~Uniform(95,105)
μ=100
σ≈2.89
n=36
תוחלת הסכום
\[E(S_{36})=36\cdot100=3600\]
סטיית התקן של הסכום
\[\sigma_{S_{36}}=2.89\sqrt{36}\approx17.34\]
נרמול
\[Z=\frac{3630-3600}{17.34}\approx1.73\]
הסתברות
\[P(Z>1.73)\approx0.042\]
ההסתברות היא בערך 4.2%.
10
דוגמה 2: שוקולדים — ממוצע
מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של 36 שוקולדים יהיה גדול מ-100.5 גרם?
סטיית התקן של הממוצע
\[\sigma_{\bar X}=\frac{2.89}{\sqrt{36}}\approx0.48\]
נרמול
\[Z=\frac{100.5-100}{0.48}\approx1.04\]
הסתברות
\[P(Z>1.04)\approx0.149\]
ההסתברות היא בערך 14.9%.
11
דוגמה 3: סכום הטלות קובייה
מטילים קובייה הוגנת 60 פעמים. מה ההסתברות שסכום התוצאות יהיה גדול מ-230?
μ=3.5
σ²=35/12
σ≈1.71
n=60
\[E(S_{60})=60\cdot3.5=210\]
\[\sigma_{S_{60}}=1.71\sqrt{60}\approx13.25\]
\[Z=\frac{230-210}{13.25}\approx1.51\]
\[P(Z>1.51)\approx0.065\]
ההסתברות היא בערך 6.5%.
12
דוגמה 4: ממוצע ציונים
במבחן מסוים התוחלת היא 72 וסטיית התקן היא 12. לוקחים מדגם של 64 סטודנטים. מה ההסתברות שהממוצע במדגם יהיה גדול מ-75?
\[\sigma_{\bar X}=\frac{12}{\sqrt{64}}=1.5\]
\[Z=\frac{75-72}{1.5}=2\]
\[P(Z>2)\approx0.0228\]
ההסתברות היא בערך 2.3%.
13
דוגמה 5: זמן המתנה ממוצע
זמן המתנה ממוצע לשירות הוא 8 דקות, וסטיית התקן היא 4 דקות. בודקים 49 לקוחות. מה ההסתברות שהממוצע יהיה קטן מ-7 דקות?
\[\sigma_{\bar X}=\frac{4}{\sqrt{49}}\approx0.57\]
\[Z=\frac{7-8}{0.57}\approx-1.75\]
\[P(Z<-1.75)\approx0.040\]
ההסתברות היא בערך 4%.
14
בואו נראה את המשפט עובד
בחרו התפלגות וערך של \(n\). הסימולציה תראה משתנה אחד, סכום וממוצע.
משתנה אחד
סכום
ממוצע
כאשר \(n\) גדל, הסכום והממוצע מתחילים להיראות יותר כמו פעמון.
15
טעויות נפוצות
🔄
להתבלבל בין סכום לבין ממוצע√n
לשכוח את \(\sqrt n\)σ
להשתמש ב-\(\sigma\) במקום \(\sigma/\sqrt n\)🔔?
לחשוב שהנתונים המקוריים חייבים להיות נורמליים30
לחשוב ש-\(n\ge30\) תמיד מספיק🔗
לשכוח לבדוק אי-תלות16
קוויז קצר
ענו על השאלות. אחרי לחיצה תקבלו משוב קצר.
1. מה התוחלת של סכום \(n\) משתנים?
2. מה סטיית התקן של הממוצע?
3. למה בנרמול הממוצע מופיע \(\sqrt n\)?
4. האם המשתנים המקוריים חייבים להתפלג נורמלית?
5. מתי צריך להיזהר בשימוש במשפט?
6. אם הנתונים המקוריים נורמליים, האם חייבים לחכות ל-\(n\ge30\)?
7. מה פירוש \(\xrightarrow{d}\)?
✓
מה לקחת מהשיעור?
משפט הגבול המרכזי אומר שסכומים וממוצעים של הרבה משתנים אקראיים, אחרי נרמול מתאים, מתכנסים בהתפלגות לנורמלית סטנדרטית.
עבור סכום
\[Z=\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\]
עבור ממוצע
\[Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\]
הרעיון
יותר תצפיות → נרמול מתאים → קירוב נורמלי טוב יותר